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简明数学手册：符号、概念与公式速查

Fri, 15 Dec 2017 00:00:00 +0800

为什么放编程分类

这篇不是大学数学课本的目录——而是程序员的数学工具书。做技术博客分类时，我没把它放进「数学/科学」大类，而是放在「编程」下面，理由有三：

公式不是用来考试——是写代码时查表用的。看到 Σ、∂、lim 就知道在写什么，看到 T(n) = O(n²) 就能在 code review 里挑出性能 bug
数学是计算机的母语——所有算法、数据结构、机器学习、图形学、密码学底层都是这一套符号 + 公式。不会这套符号就读不懂 RFC、论文、源码注释
学习路径配套——本站点「算法 / 数据结构」「机器学习」「密码学」「游戏开发」等分类的前置知识就是这一页。先建索引，再深入分支

所以这篇的定位是：

放办公桌的"数学速查表"——遇到不熟的符号翻 30 秒，回到 IDE 继续写代码。

下面这张表汇总了 5 个最常见的工程场景对应的数学分支，方便按需跳转：

场景	用到的数学	跳转
哈希表 / 布隆过滤器	概率、模运算	哈希
密码学 / RSA	数论、模逆、欧拉函数	数论基础
数据校验 / CRC	异或、有限域	CRC / 校验
图像 / 音视频处理	三角函数、傅里叶	三角恒等式
机器学习 / 深度学习	线性代数、概率、梯度	线性代数 / 概率统计

常用数学符号

符号	含义
$\in$	属于
$\notin$	不属于
$\subseteq$	子集
$\cup$	并集
$\cap$	交集
$\emptyset$	空集
$\forall$	全称量词（任意）
$\exists$	存在量词（存在）
$\nexists$	不存在
$\Rightarrow$	推出
$\Leftrightarrow$	等价
$\sum$	求和
$\prod$	求积
$\int$	积分
$\partial$	偏导数
$\nabla$	梯度 / 散度
$\infty$	无穷
$\approx$	约等于
$\equiv$	恒等于
$\propto$	成正比

集合与逻辑

集合运算律

交换律：$A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$
结合律：$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
分配律：$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
德摩根：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

命题逻辑

命题	符号	含义
合取	$P \land Q$	P 且 Q
析取	$P \lor Q$	P 或 Q
否定	$\neg P$	非 P
蕴含	$P \Rightarrow Q$	P 蕴含 Q
等价	$P \Leftrightarrow Q$	P 等价 Q

初等代数

乘法公式

$$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$$

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

$$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$$

$$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$

一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$

判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$
根：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
韦达：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

指数

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$(a^m)^n = a^{mn}$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

对数

$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$$

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

$$\log_a x^n = n \log_a x$$

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$

$$\ln e = 1, \quad \log_{10} 10 = 1$$

三角恒等式

基本关系：

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

和差角：

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$$

二倍角：

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$$

半角：

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$$

$$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$

和差化积：

$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$$

解三角形

正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
三角形面积：$S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{abc}{4R}$

解析几何

直线

点斜式：$y - y_0 = k(x - x_0)$
斜截式：$y = kx + b$
一般式：$Ax + By + C = 0$
两点距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
点到直线：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

圆

标准：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
一般：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
圆心：$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$，$r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$

椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

$a > b > 0$
离心率 $e = c/a = \sqrt{1 - b^2/a^2}$
焦点 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$

双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

离心率 $e = c/a = \sqrt{1 + b^2/a^2}$
渐近线 $y = \pm \frac{b}{a} x$

抛物线 $y^2 = 2px$

焦点 $(\frac{p}{2}, 0)$，准线 $x = -\frac{p}{2}$

微积分

极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

常用导数

$f(x)$	$f’(x)$
$c$	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$1/x$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$

常用积分

$f(x)$	$\int f(x) , dx$
$0$	$C$
$x^a$	$\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$
$1/x$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$

微分中值定理

罗尔：$f(a) = f(b)$，$\exists \xi \in (a, b)$，$f’(\xi) = 0$
拉格朗日：$\exists \xi$，$f’(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西：$\exists \xi$，$\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

泰勒公式

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$$

常用展开：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$

线性代数

矩阵

行列式（2x2）：$\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
矩阵乘法：$(AB){ij} = \sum_k A{ik} B_{kj}$
矩阵转置：$(A^T){ij} = A{ji}$
矩阵求逆：$A^{-1} = \frac{1}{\det A} A^$（$A^$ 是伴随矩阵）

特征值与特征向量

$$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$$$\det(A - \lambda I) = 0$$

重要矩阵

单位矩阵 $I$：对角线 1
零矩阵 $O$：全 0
对角矩阵 $\text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$
对称矩阵 $A^T = A$
正交矩阵 $A^T A = I$

概率统计

概率公式

条件概率：$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
全概率：$P(A) = \sum_i P(B_i) P(A|B_i)$
贝叶斯：$P(B_j|A) = \frac{P(B_j) P(A|B_j)}{\sum_i P(B_i) P(A|B_i)}$

常见分布

分布	期望	方差
0-1 (B(1, p))	$p$	$p(1-p)$
二项 B(n, p)	$np$	$np(1-p)$
泊松 P(λ)	$λ$	$λ$
指数 Exp(λ)	$1/λ$	$1/λ^2$
正态 N(μ, σ²)	$μ$	$σ^2$
均匀 U(a, b)	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$

期望 / 方差性质

$E(c) = c$，$E(aX + b) = aE(X) + b$
$D(c) = 0$，$D(aX + b) = a^2 D(X)$
独立：$E(XY) = E(X)E(Y)$，$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

离散数学

集合

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$

排列组合

排列：$P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$
组合：$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
性质：$C(n, k) = C(n, n-k)$，$C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)$

鸽巢原理

把 $n+1$ 个物品放入 $n$ 个盒子，至少有一个盒子包含至少 2 个物品。

程序员常用

浮点数（IEEE 754）

单精度：32 位（1 符号 + 8 指数 + 23 尾数）
双精度：64 位（1 符号 + 11 指数 + 52 尾数）
精度：$2^{-23} \approx 1.19 \times 10^{-7}$（单精度）
舍入模式：最近偶数舍入（默认）

哈希

期望冲突：$\frac{k(k-1)}{2n}$（$k$ 个 key，$n$ 个 slot）
生日悖论：50% 冲突需要 $\approx 1.18\sqrt{n}$ 个 key

复杂度

主定理：$T(n) = aT(n/b) + f(n)$
- 若 $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$，$T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$
- 若 $f(n) = \Theta(n^{\log_b a})$，$T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)$
- 若 $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$，$T(n) = \Theta(f(n))$

在 5 个工程场景的应用

这一节给上面零散的公式穿上工程外衣——每个场景都对应到具体的代码 / 库 / 工具，让公式不再停留在纸面。

场景 1：哈希表与布隆过滤器

哈希函数的核心是把任意 key 映射到 [0, n) 的 slot：

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# Python dict 用的是开放寻址 + SipHash（防 hash flooding 攻击）
# 期望冲突数：E[collisions] = k(k-1) / (2n) # k 个 key, n 个 slot
# 50% 冲突概率：k ≈ 1.177√n # 生日悖论

import hashlib

def my_hash(key: str, n: int) -> int:
 h = hashlib.sha256(key.encode()).digest()
 return int.from_bytes(h[:4], 'big') % n

布隆过滤器用 k 个哈希函数 + m 位数组，假阳率：

$$P_{fp} = \left(1 - e^{-kn/m}\right)^k$$

场景 2：密码学 / RSA

RSA 依赖三个数论核心：

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# 1. 模逆：a*x ≡ 1 (mod p) → 用扩展欧几里得算法
def modinv(a, p):
 return pow(a, p - 2, p) # 费马小定理，p 是质数

# 2. 欧拉函数：φ(n) = n * Π(1 - 1/p_i)
# 3. RSA：c = m^e mod n，m = c^d mod n (其中 d = modinv(e, φ(n)))

# 实际用 PyCryptodome
from Crypto.PublicKey import RSA
key = RSA.generate(2048)
cipher = key.encrypt(b"hello", None)
plain = key.decrypt(cipher)

关键定理：欧拉定理 $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$、费马小定理 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$（p 是质数）。

场景 3：CRC / 校验和

CRC（Cyclic Redundancy Check）= 多项式除法的余数。以太网、ZIP、PNG 全用它。

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# CRC-32 (以太网)
import zlib

data = b"hello world"
crc = zlib.crc32(data) & 0xffffffff # 0x0d4a1185

# 手动算 CRC-8 (多项式 x^8 + x^2 + x + 1 = 0x07)
def crc8(data: bytes, poly=0x07, init=0x00) -> int:
 crc = init
 for byte in data:
 crc ^= byte
 for _ in range(8):
 crc = (crc >> 1) ^ (poly & -(crc & 1))
 return crc & 0xff

关键数学：有限域 GF(2⁸) 上的多项式模 2 除法。

场景 4：图像 / 音视频处理

旋转、缩放、JPEG 压缩、音频 EQ——全是三角函数 + 傅里叶变换。

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# 2D 旋转（围绕原点）
import math

def rotate(x, y, theta_deg):
 t = math.radians(theta_deg)
 return (x * math.cos(t) - y * math.sin(t),
 x * math.sin(t) + y * math.cos(t))

# 离散傅里叶变换（手写太慢，用 numpy）
import numpy as np

def spectrum(signal):
 return np.abs(np.fft.fft(signal)) # 时域 → 频域

关键公式：

欧拉公式：$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
离散傅里叶：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-2\pi i kn/N}$

场景 5：机器学习 / 深度学习

ML/DL 整个底层都依赖线性代数 + 概率 + 微积分。

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# 1. 矩阵乘法：神经网络的前向传播
import numpy as np

X = np.random.randn(64, 784) # 64 个样本，784 维
W1 = np.random.randn(784, 128)
h = np.maximum(0, X @ W1) # ReLU 激活

# 2. 梯度下降：∂L/∂W = (∂L/∂h) · (∂h/∂W)
# PyTorch 替你算
import torch
import torch.nn as nn

model = nn.Linear(784, 10)
loss_fn = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

for x, y in dataloader:
 pred = model(x)
 loss = loss_fn(pred, y)
 loss.backward() # 反向传播（链式法则）
 optimizer.step() # 梯度下降
 optimizer.zero_grad()

关键概念：

链式法则：$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}$（autograd 的数学基础）
Softmax：$\sigma(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$（多分类概率化）
交叉熵：$H(p, q) = -\sum_i p_i \log q_i$（分类损失）

场景 6（赠送）：素数判定

密码学、哈希、布隆过滤器都依赖大素数：

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# Miller-Rabin 素性测试
import random

def is_prime(n, k=20):
 if n < 2: return False
 for p in [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]:
 if n % p == 0: return n == p
 d, r = n - 1, 0
 while d % 2 == 0:
 d //= 2
 r += 1
 for _ in range(k):
 a = random.randrange(2, n - 1)
 x = pow(a, d, n)
 if x == 1 or x == n - 1: continue
 for _ in range(r - 1):
 x = pow(x, 2, n)
 if x == n - 1: break
 else:
 return False
 return True

上面 6 个场景的代码没有一个是"为了学数学而学数学"——全都是生产代码里会碰到的真实问题。数学不是装饰品，是工具。

下一步

微积分体系，看 2017-09-15《高等数学知识体系》
算法 / 数据结构，看 2012-08-17《常见排序算法完全指南》

参考资料

《数学手册》高等教育出版社
程序员数学入门：https://math.erucireu.dev/
Wolfram MathWorld：https://mathworld.wolfram.com/

Linux 系统工具命令速查：cat/grep/sed/find/tar/tmux/top 等 20+ 工具精要

Sun, 15 Mar 2015 00:00:00 +0800

一、为什么是 2015 年这一份

2015 年这个时间点前后，Linux 命令行工具进入"成熟稳定期"：

核心三剑客（cat/grep/sed/awk/find）自 1980 年代起就没大改过
GNU coreutils 系列（ls/cat/md5sum/envsubst 等）2015 已是 8.x
systemd 在 RHEL 7（2014）/ CentOS 7（2014）/ Ubuntu 15.04（2015）陆续上位
top 3.x 时代 / tmux 1.x 稳定（tmux 2.0 是 2015-04 发布的）
glances 2.x 时代（glances 2.0 是 2014-12 发布的）

这一篇覆盖日常 Linux 工作中出现频次最高的 20+ 工具——文件查看、文本处理、进程管理、压缩归档、系统信息、杂项命令。每条只给"够用"的参数速查，不展开手册（详见各命令的 man 页）。

阅读建议：本文按"主题归类"组织，每个小节独立可读。遇到具体场景直接 Ctrl+F 搜命令名。

二、文件查看与操作

2.1 `cat`：查看文件内容

cat 是"concatenate"的简写，2015 已是 8.x 时代。

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# 查文件内容
cat filename

# 把 EOF 加上引号，变量就不会被解析
cat <<"EOF" > docker-compose.yaml
version: "3"
services:
 base:
 image: ...
EOF

重要细节：cat <<"EOF" vs cat <<EOF 区别在引号。带引号时 shell 不解析 $VAR、反引号等，写 Dockerfile / K8s manifest 这种带 $VAR 的模板文件时必须用引号。

2.2 `ls`：列出文件信息

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# 查文件大小
ls -l 文件名 | awk '{print $5}'

# 字节数
stat -c "%s" 文件名

2.3 `md5sum`：校验文件完整性

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# 生成校验码
md5sum docker-compose > docker-compose-md5sums.txt

# 多个文件
md5sum 文件1 文件2 > fs.md5
md5sum 文件1 文件2 >> fs.md5

# 校验（输出 OK / FAILED）
md5sum -c docker-compose-md5sums.txt

# 只看退出码（CI/CD 场景）
md5sum --status -c docker-compose-md5sums.txt
echo $? # 0=全 OK，1=有 FAILED

2.4 `hdparm`：测试磁盘读写速度

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# 测试读取效率
hdparm -t /dev/sda

# 测试硬盘缓存的读取速度
hdparm -T /dev/sda

# 直接测试（绕过缓存）
hdparm -tT --direct /dev/sda

# 查看 DMA 情况
hdparm -cdt /dev/sda

2.5 `rm`：删除文件/目录

大量文件不能用 rm *，会触发 -bash: /bin/rm: 参数列表过长。

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# 查看大文件/目录
du -sh * | sort -hr | head

# 方法一：find + rm
find . -type f -mtime +0 -exec rm -f {} +

# 方法二：xargs 分组
find . -name "*" | xargs rm -rf '*'

# 方法三：ls + xargs 限定每组 9 个
ls | xargs -n 9 rm -rf

# 清理两天前的数据
find ./ -mtime +1 | xargs rm -rf

三、文本处理三剑客

3.1 `grep`：搜索匹配行

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# 显示上下行数
grep -C 50 pattern file

# 显示前 / 后
grep -B 5 pattern file
grep -A 5 pattern file

# 不区分大小写
grep -i pattern file

# 实战：查 docker 日志里最后百万行有 error 关键字的不区分大小写前后 10 行
docker logs -f --tail=1000000 appbackend | grep -C 10 -i error

3.2 `sed`：流编辑器

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# 内容追加
# 首行追加
sed -i "1i\内容" 文件名
sed -i "1i\SET FOREIGN_KEY_CHECKS = 0;" /tools/safety.sql

# 尾行追加
echo "内容" >> 文件名

# 打印第一行 / 最后一行
sed -n 1p /tools/safety.sql
sed -n '$p' /tools/safety.sql
tail -n 1 /tools/safety.sql
awk 'END{print}' /tools/safety.sql

# 删除
sed -i '1d' /tools/safety.sql # 删第一行
sed -i '$d' /tools/safety.sql # 删最后一行

# 全局替换
sed -i 's/原字符串/新字符串/g' 文件名

3.3 `find`：查找文件

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# 当前目录下找名为 file.txt 的文件
find . -name file.txt

# 找大文件 / 旧文件
find . -type f -size +100M
find . -type f -mtime +30

# 找并执行命令
find . -name "*.log" -exec rm -f {} \;

四、进程管理

4.1 `ps`：查看进程

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# 经典组合
ps -aux
# a: 显示所有程序
# u: 以用户为主的格式
# x: 显示所有程序，不以终端机区分

# 查指定进程
ps -aux | grep test.sh | grep -v grep

# 内存占用高的前 20
ps aux | head -1; ps aux | grep -v PID | sort -rn -k +4 | head -20

grep -v grep：把 grep 命令本身从结果里排除掉，否则会看到自己。

4.2 `kill`：杀进程

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# 优雅退出
kill <pid>

# 强制退出
kill -9 <pid>

# 杀某用户的所有进程
pkill -u 用户名

# 杀进程并踢出登录
pkill -kill -t tty

4.3 `top`：实时进程监控

top 是 1991 年起的"上古"工具，至今仍是 Linux 性能观测的入门首选。

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top -c -bw 512 # 显示完整命令行，输出宽度 512

输出解读：

行	含义
第 1 行	当前时间、运行时间、当前用户、CPU 平均负载（1/5/15 分钟）
第 2 行	总/运行/休眠/停止/僵尸进程数
第 3 行	us（用户）/ sy（内核）/ ni（调整优先级）/ id（空闲）/ wa（等待 IO）/ hi（硬件中断）/ si（软件中断）/ st（虚拟化偷走）
第 4 行	物理内存总量、空闲、已用、内核缓存
第 5 行	虚拟内存总量、空闲、已用、下一波分配量

进程字段：

字段	含义
PID	进程 ID
USER	进程用户名
PR	动态优先级
NI	静态优先级（可被 nice 调整）
VIRT	虚拟内存
RES	物理内存
SHR	共享内存
S	状态（D 不可中断 / I idle / R 运行 / S 睡眠 / T 停止 / Z 僵尸）
%CPU / %MEM	CPU / 内存占用
TIME+	累计 CPU 时间
COMMAND	命令

Java 进程的 VIRT 异常大：Java 8+ 用 Metaspace 取代 PermGen，元空间放在 OS 本地内存。每个线程都分配一个 arena（64MB），线程一多 VIRT 就巨大。这不是真用了那么多内存——要用 pmap 查真实占用。

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pmap -x <pid> | sort -n -k3
# 输出内存块详细信息
cat /proc/<pid>/smaps

常用快捷键：

快捷键	功能
`shift+m`	按内存排序
`shift+P`	按 CPU 排序
`shift+t`	按时间排序
`shift+n`	按 PID 排序
`m`	内存显示模式
`E`	内存总览单位
`e`	进程内存单位
`c`	显示完整命令行
`i`	不显示闲置
`l`	启动时间和平均负载

4.4 `tmux`：终端复用

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# 安装
yum -y install tmux # CentOS
apt install -y tmux # Debian/Ubuntu

# 新建会话
tmux new -s session_name

# 退出（不关会话）
# ctrl + b 再输入 d

# 进入已有会话
tmux attach -t session_name

# 查看所有会话
tmux ls
# ctrl + b 再输入 s 交互式切换

# 关闭指定会话
tmux kill-session -t session_name

# 关闭所有会话
tmux ls | grep : | cut -d. -f1 | awk '{print substr($1, 0, length($1)-1)}' | xargs kill

4.5 `nohup`：不挂断运行

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# 不挂断运行 test.sh，输出重定向到 output.log
nohup ~/user/test.sh > output.log 2>&1 &

0 —— 键盘输入
1 —— 屏幕输出（标准输出）
2 —— 错误输出
2>&1 —— 把错误输出重定向到标准输出
最后的 & —— 后台运行

jobs 命令只对当前终端有效，关闭终端后 jobs 就看不到后台进程了，此时用 ps。

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# 显示所有任务的进程号
jobs -l

# 显示任务状态变化
jobs -n

五、压缩归档

5.1 `tar`：归档与压缩

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# 五个独立命令
# -c: 建立压缩档案
# -x: 解压
# -t: 查看内容
# -r: 向压缩归档文件末尾追加文件
# -u: 更新原压缩包中的文件

# 可选参数
# -z: gzip
# -j: bz2
# -Z: compress
# -v: 显示所有过程
# -O: 将文件解开到标准输出
# -f: 使用档案名字（必须是最后一个参数）

# 压缩
tar -zcvf xxx.tar.gz xxx

# 解压
tar -zxvf xxx.tar.gz

# 解压到指定文件夹（文件夹必须已存在）
tar -zxvf /file/xxx.tar.gz -C /home/docker

六、系统信息

6.1 CPU 信息

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# 最详细
cat /proc/cpuinfo

# 简单
lscpu

# 最简单：只显示核心数
nproc

统计 CPU 数量：

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# 总核数 = 物理 CPU 个数 × 每颗物理 CPU 的核数
# 总逻辑 CPU 数 = 物理 CPU 个数 × 每颗物理 CPU 的核数 × 超线程数

# 物理 CPU 个数
cat /proc/cpuinfo | grep "physical id" | sort | uniq | wc -l

# 每个物理 CPU 的核数
cat /proc/cpuinfo | grep "cpu cores" | uniq

# 逻辑 CPU 个数
cat /proc/cpuinfo | grep "processor" | wc -l

# 线程数 = 逻辑 CPU 数
grep 'processor' /proc/cpuinfo | sort -u | wc -l

# 超线程：cpu cores 和 siblings 不一致则开启
cat /proc/cpuinfo | grep -e "cpu cores" -e "siblings" | sort | uniq

6.2 内存信息

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# 查所有内存设备的详细信息
sudo dmidecode | grep -P -A5 "Memory\s+Device" | grep Size | grep -v Range
# 或
dmidecode -t 17

# 完整版
dmidecode | grep -A16 'Memory Device'

6.3 主板/PCI 设备

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yum install -y pciutils # centos 安装（ubuntu 22.04+ 自带）
lspci -v

# 网卡驱动详细信息
ethtool -i eno1

6.4 `journalctl`：systemd 日志查询

journalctl 是 systemd 的日志工具，2015 年起在主流发行版成为默认日志系统。

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# 看本机启动以来的所有日志
journalctl

# 看指定服务
journalctl -u nginx

# 看内核日志
journalctl -k

# 看最近 10 分钟
journalctl --since "10 min ago"

# 跟踪（类似 tail -f）
journalctl -f

# 看指定时间段
journalctl --since "2024-01-01" --until "2024-01-02"

七、`glances`：htop 的"加强版"

glances（2014-12 发布 2.0）提供一屏式综合监控，常被推荐为 htop 的替代品。

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# 安装
yum -y install glances # CentOS
apt install -y glances # Debian/Ubuntu

# 配套：硬件温度监控
yum -y install lm_sensors

# 启动
glances

关于 htop：htop 在 2015 仍是 top 的"事实标准"加强版。glances 的差异在"一屏看 CPU / 内存 / 磁盘 / 网络 / 进程全维度"。本文不展开，详见独立文章。

八、环境变量与模板：`envsubst`

envsubst 是 GNU gettext 套件里的小工具，专门做"模板 + 环境变量 → 配置"：

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# 1. 模板文件 t.yaml
cat << "EOF" > t.yaml
systeminfo:
 OS: $OS
 user: $USER
 home: $HOME
 args:
 [
 "$args"
 ]
EOF

# 2. 脚本 t.sh
cat << "EOF" > t.sh
#!/usr/bin/env bash
export OS=$(uname -s)
export args="/wait.sh 10.8.33.127:8848 -t 0"
ports=(100 200 300)
nodePort=30000
for p in ${ports[*]}; do
 nodePort=$[$nodePort+1]
 sed -i "8a \ - name: port$p\n port: $p\n targetPort: $p\n nodePort: $nodePort" t.yaml
done
envsubst < t.yaml > t1.yaml
EOF

# 3. 跑脚本
bash t.sh

# 4. 清理
rm -rf t.yaml t1.yaml t.sh

典型场景：用模板生成 K8s 部署文件——一份 YAML 模板 + 多个环境变量 → 多份目标 manifest。

九、`pciutils`：网卡/PCI 设备排查

lspci 是排查网卡驱动问题最常用的工具。当一个新机器装完系统发现网卡识别不到，先看 lspci 找到芯片型号，再去厂商站下载驱动。

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# 显示网卡
yum install -y pciutils # centos 安装（ubuntu 22.4+ 自带）
lspci -v
# 或
ethtool -i eno1

常见坑：Realtek r8168 网卡在 CentOS 7 默认驱动下表现不佳，需要从 Realtek 官网下载驱动源码手动编译。常见编译错误 ether_addr_copy 重定义、ndo_change_mtu 等都需要手动改源码适配内核版本。

十、`nohup` + 进程组：`2>&1` 的真意

2>&1 的写法非常常见但很多人不理解。这里给一个完整图：

文件描述符	含义	默认指向
`0`	stdin（键盘输入）	键盘
`1`	stdout（标准输出）	屏幕
`2`	stderr（错误输出）	屏幕

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# 把 stderr 重定向到 stdout
command > out.log 2>&1

# 把 stdout 重定向到 file，stderr 仍走屏幕
command > out.log

# 把 stdout 和 stderr 都丢进黑洞
command > /dev/null 2>&1

nohup + & + > log 2>&1 是后台跑长任务的标准三件套。

十一、`systemctl` 资源限制

systemctl edit 是给已有 service 加 overlay 配置（不修改原 unit 文件）：

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# 编辑 sshd 的 overlay
systemctl edit sshd

[Service]
CPUQuota=20%
MemoryLimit=256M
Nice=-10
IOWeight=100

sudo systemctl daemon-reload
sudo systemctl restart sshd

字段	含义
`CPUQuota=20%`	限制最多用 20% 单核 CPU
`MemoryLimit=256M`	限制最大 256M 内存
`Nice=-10`	优先级（-20~19，越小越高）
`IOWeight=100`	IO 权重（1~10000）

十二、前置知识 / 下一步

想看 journalctl 完整用法 → man journalctl
想看 top 完整字段 → man top
想看 sed 完整正则语法 → man sed
想看 fio 性能压测 → 翻本系列《Linux 磁盘与 LVM 深度实践》
想看 systemctl 完整服务管理 → 翻本系列《Linux 远程登录与安全实践》中的 service 文件部分

十三、参考资源

GNU Coreutils：https://www.gnu.org/software/coreutils/manual/
man 各命令手册页
TLDP Advanced Bash Scripting Guide：https://tldp.org/LDP/abs/html/
Linux man-pages project：https://www.kernel.org/doc/man-pages/

2024 视角：10 年后这 20+ 工具的"现代化"姿势

2015 年这份速查在 2024 仍有 90% 适用——这正是 GNU coreutils 三剑客的"长青"价值。但在 2024 年的服务器上，有几处需要更新：

一、net-tools 真的可以删了

2015 年时 netstat 还在主流发行版，2024 年 RHEL 9 / Ubuntu 24.04 已彻底移除 net-tools。

ss（iproute2）已经完全替代：

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ss -tulnp # 替代 netstat -tulnp
ss -s # 替代 netstat -s（统计）
ss -tin # TCP 连接详细信息（含拥塞窗口、重传）

ifconfig 替代品：

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ip -br addr show # 简洁模式
ip -c addr show # 彩色输出

route 替代品：

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ip route show
ip -6 route show # IPv6 路由

二、`htop` 仍是 `top` 首选替代

htop 3.x（2022+）已经支持鼠标操作、横向滚动、进程树折叠，2024 是事实标准。
btop（2021 推出）更激进：CPU/内存/磁盘/网络一屏 + 图形化 sparkline，颜值党首选。
glances 仍是 Web/API 化的最佳选择：可以 glances -w 启 Web 服务（默认 61208 端口），浏览器看监控。

三、`tmux` 3.x 的新特性

tmux 3.0（2021-04 重大版本）之后：
- status-line 支持字符串插值（#{...} 语法）
- popup 弹窗（display-popup -E "cmd"）
- mouse 模式改进

2024 推荐配置 ~/.tmux.conf：

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set -g mouse on
set -g default-terminal "tmux-256color"
set -ag terminal-overrides ",xterm-256color:RGB"

四、systemd 资源控制的"现代写法"

2015 那篇给的 CPUQuota=20% 仍是有效写法，但 2024 更精细的有：

CPU 亲和性：
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[Service] CPUAffinity=0-3

内存 + 交换空间硬限制：

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MemoryMax=512M
MemorySwapMax=0 # 禁用 swap

IO 控制器（systemd 240+）：

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IOReadBandwidthMax=/dev/sda 100M
IOWriteBandwidthMax=/dev/sda 50M

五、`journalctl` 仍是事实标准

但 2024 推荐结构化查询：

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journalctl -u nginx --since "1 hour ago" --output=json | jq .
journalctl -u nginx -p err -n 50 -f # 跟踪错误
journalctl --vacuum-size=200M # 限制日志大小
journalctl --list-boots # 看启动历史

六、`fzf` 应该是 2024 必装

2015 年没提的"现代神器"——fzf（命令行模糊查找器）：

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# 装
apt install fzf # 或 brew install fzf

# 用
Ctrl-R # 模糊搜索历史命令
Ctrl-T # 模糊搜索文件
Alt-C # 模糊切换目录

# 管道
ps aux | fzf | awk '{print $2}' | xargs kill

fzf 让"在 1 万条历史命令里找刚才那条"变成 < 1 秒，是 2015 → 2024 提效最大的一颗"小宝石"。

Linux 基础命令速查：查版本、查公网 IP、查 CPU、SSH 登录

Mon, 15 Sep 2014 00:00:00 +0800

一、为什么是 2014 年这一份

我第一次写"Linux 速查"是 2006 年，那会儿查版本靠 /etc/redhat-release 和 /etc/debian_version 两个发行版自带的小文本，netstat -an 几乎是网络排查的唯一选项。8 年后情况变了：systemd 在 RHEL/CentOS 7（2014-07 发布）上成为默认 init，发行版统一把元数据塞进了 /etc/os-release；iproute2 包的 ss 也开始慢慢取代 net-tools 的 netstat；公网 IP 查询有了 cip.cc、ifconfig.me、ipinfo.io 等多个选择。

这一篇只覆盖 4 类最高频的命令——查版本、查公网 IP、查 CPU、SSH 登录。其他类别（进程、磁盘、网络工具深度用法）单独成文。

阅读建议：本文每个命令块都"可独立复制运行"；先收藏，遇到具体场景再回头查对应小节。

二、查看系统版本：`/etc/os-release`

/etc/os-release 是 systemd 在 2012 年引入的统一标准文件——所有遵循规范的发行版（CentOS 7、Debian 7+、Ubuntu 12.04+、Fedora 19+、Arch 等）都把元数据写在这里。不再需要 cat /etc/redhat-release 后还要 cat /etc/debian_version 各查一次。

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cat /etc/os-release

CentOS 输出形如：

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NAME="CentOS Linux"
VERSION="7.0 (Core)"
ID="centos"
ID_LIKE="rhel fedora"
VERSION_ID="7.0"
PRETTY_NAME="CentOS Linux 7 (Core)"
ANSI_COLOR="0;31"
CPE_NAME="cpe:/o:centos:centos:7"
HOME_URL="https://www.centos.org/"
BUG_REPORT_URL="https://bugs.centos.org/"

Debian 输出形如：

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PRETTY_NAME="Debian GNU/Linux 7 (wheezy)"
NAME="Debian GNU/Linux"
VERSION_ID="7"
ID=debian
ANSI_COLOR="1;31"
HOME_URL="http://www.debian.org/"

关于截图：原始笔记里附了 CentOS / Debian 的 os-release 截图对照，本文中以等价文本输出还原。如需在自己机器上对比，直接 cat /etc/os-release 即可。

几个关键字段：

字段	含义	用途
`NAME`	发行版大写名	人类阅读
`ID`	发行版小写标识	脚本判断（shell 中用 `. /etc/os-release && echo $ID`）
`VERSION_ID`	主版本号	脚本判断主版本（适合做 `>=7` 判定）
`PRETTY_NAME`	完整描述名	报错时贴这个最清晰
`ID_LIKE`	父系/兼容发行版	知道"这机器能装哪边的包"

在脚本里这样用（避免 grep /etc/redhat-release 这种字符串匹配）：

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. /etc/os-release
if [ "$ID" = "centos" ] && [ "${VERSION_ID%%.*}" -ge 7 ]; then
 echo "CentOS 7+，可以放心用 systemctl 管理服务"
fi

三、查公网 IP：`curl cip.cc`

临时想知道"出口 IP 是什么、归属哪里、用什么运营商"，最快一条：

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curl cip.cc

输出形如：

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IP : 203.0.113.45
地址 : 中国 北京 北京
运营商 : 联通
数据二 : 北京市 | 联通
数据三 : 中国北京北京 | 联通
URL : http://cip.cc

返回 IP、归属地、运营商三件套，人眼可读。这是一台第三方 HTTP 服务（cip.cc），不是机器本地命令。

同类工具（适合做容灾备份——一个挂了好切另一个）：

域名	特点
`cip.cc`	国内访问快，中文输出（本文首选）
`ifconfig.me`	海外老牌，2011 上线，英文输出，纯文本
`ipinfo.io`	JSON 输出，适合脚本里 `jq` 解析
`checkip.dyndns.org`	老牌 dyndns 提供，HTML 输出要 grep
`api.ipify.org`	极简，只返 IP 一个字段

网络受限时的备用姿势：

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# 极简（只返 IP）
curl -s https://api.ipify.org
# 等价于
curl -s https://ifconfig.me/ip

# JSON（适合脚本）
curl -s https://ipinfo.io/json | jq .ip

注意：如果机器完全没出网（数据库/内网工具机常见），所有这些命令都会超时；这时要看"公网 IP"得去网关/路由器/云厂商控制台查。

四、查 CPU 信息

服务器出问题时，“先看硬件"比"看软件"效率高——CPU 都不知道几核几线程，调优就是瞎调。

4.1 一组核心命令

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# 物理 CPU 个数（几颗 CPU）
cat /proc/cpuinfo | grep "physical id" | sort | uniq | wc -l

# 每颗 CPU 的核心数
cat /proc/cpuinfo | grep "cpu cores" | uniq

# 逻辑 CPU 个数（线程数）
grep 'processor' /proc/cpuinfo | sort -u | wc -l
cat /proc/cpuinfo | grep "processor" | wc -l

# CPU 型号
cat /proc/cpuinfo | grep name | cut -f2 -d: | uniq -c

# 通过 dmidecode 查详细型号
dmidecode -s processor-version

4.2 几个数字怎么对

名称	命令	关系
物理 CPU 颗数	`physical id` 去重计数	一颗 CPU 可能有 4/6/8/… 核
每颗核心数	`cpu cores`（uniq 一行）	Intel 一般物理核 = 核心数；AMD 早期有"模块"概念
逻辑 CPU 数	`processor` 行数	开了超线程后 = 核心数 × 2

典型云厂商机器输出参考（某云 ECS 通用型）：

1 颗物理 CPU，2 核心，开了超线程 → 4 个逻辑 CPU
命令输出：physical id = 1，cpu cores = 2，processor = 0,1,2,3

为什么是 /proc/cpuinfo？ 这是 Linux 内核导出的伪文件系统，硬件信息在启动时由内核从 ACPI/BIOS 读到内存里再吐出来——不需要装任何工具。dmidecode 走的是另一条路（直接读 DMI/SMBIOS 表），能拿到型号/主频等详细信息，但需要 root 权限。

五、SSH 远程登录与排错

telnet 是 TCP 层面的"能不能通"测试，ssh -v 是协议层面的"为什么连不上"诊断——两条结合用最稳。

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# 1. 先用 telnet 测 TCP 层面能不能到达
telnet internal.example.com 81

# 2. 再用 ssh -v 看 SSH 协议细节（-v = verbose）
ssh -v -p 81 admin@internal.example.com

5.1 两条命令的分工

命令	测什么	失败时典型表现
`telnet host port`	TCP 三次握手	`Connection refused`（端口没开/服务没起） `Connection timed out`（防火墙拦了）
`ssh -v -p port user@host`	SSH 协议协商 + 认证	卡在 `debug1: SSH2_MSG_KEXINIT sent`（协议不匹配） `Permission denied (publickey)`（认证失败）

诊断顺序：先 telnet 测 TCP 通不通，不通就别往下走；通了再 ssh -v 看协议和认证。

5.2 SSH 连不上时的 3 个最常见原因

防火墙/安全组没放端口（最常见）——telnet 就超时
sshd 没监听该端口——/etc/ssh/sshd_config 里 Port 22 没改、或改了没重启
公钥没传对位置——~/.ssh/authorized_keys 权限不对（应该是 600，目录是 700）

5.3 `-v` 看到的关键日志

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debug1: Connecting to internal.example.com [10.x.x.x] port 81.
debug1: Connection established.
debug1: identity file /root/.ssh/id_rsa type 1
debug1: SSH2_MSG_KEXINIT sent # 协议交换
debug1: SSH2_MSG_KEXINIT received
debug1: Authentications that can continue: publickey,password
debug1: Next authentication method: publickey
debug1: Authentication succeeded (publickey).

中间任意一行卡住/报错都是诊断线索。Authentications that can continue 这一行最关键——列出了服务端愿意接受的认证方式。

六、4 类命令的速查表

类别	命令	用途
系统版本	`cat /etc/os-release`	查发行版与版本号（systemd 时代统一标准）
公网 IP	`curl cip.cc`	查出口 IP + 归属地 + 运营商
CPU 信息	`cat /proc/cpuinfo \| grep "..."`	物理/逻辑 CPU 数、核心数、型号
SSH 登录	`ssh -v -p 81 user@host`	远程登录并 verbose 排错

七、参考与延伸

内部笔记《通用命令》（2014-09-15 节选）
深入进程管理：《Linux 进程与服务管理》
服务器应急排查：《Linux 性能调试与应急排查》
官方规范：systemd /etc/os-release 手册
同类公网 IP 查询工具：ifconfig.me · ipinfo.io · api.ipify.org

2024 视角：十年后这 4 条命令的现状

站在 2024 年回望这 4 条命令，部分用法已被新工具替代或默认配置已经变了：

一、查系统版本：`/etc/os-release` 仍是标准

CentOS 7 在 2024-06-30 进入 ELS 阶段（仅安全更新，无功能更新）。/etc/os-release 仍可读，但 VERSION_ID="7" 后已经没有新的 minor 版本。
CentOS 8 已经 2021-12-31 EOL，mirror.centos.org 失效；想继续读 os-release 内容正常，但 yum update 必须先换 vault.centos.org。
新项目默认：Rocky Linux 9.x / AlmaLinux 9.x / Ubuntu 22.04 / 24.04。/etc/os-release 的 ID=rocky / ID=almalinux / ID=ubuntu 是判定主版本的最稳字段。

脚本里更现代的判定方式：

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. /etc/os-release
case "$ID" in
 rocky|almalinux|centos|rhel) echo "RHEL 系，dnf 管理" ;;
 ubuntu|debian) echo "Debian 系，apt 管理" ;;
 *) echo "其他：$ID $VERSION_ID" ;;
esac

二、查公网 IP：HTTPS 是默认

2014 时代还能用的明文 HTTP 服务（http://cip.cc）在 2024 年很多被劫持或下线，统一改用 HTTPS。

推荐使用支持 HTTPS 的查询：

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curl -s https://api.ipify.org && echo
curl -s https://ifconfig.me
curl -s https://ipinfo.io/json | jq -r '.ip'

国产替代：curl https://myip.ipip.net（ipip.net 提供的中文输出）。
企业批量场景：建议自己起一个内部 IP 查询服务（curl -s http://10.0.0.1:8080/myip），避免依赖第三方。

三、查 CPU 信息：`lscpu` 是首选

/proc/cpuinfo 仍是最权威的来源，但读起来费劲。2024 主流是 lscpu（util-linux 包）：

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lscpu
# Architecture: x86_64
# CPU(s): 128
# Model name: Intel(R) Xeon(R) Platinum 8338C CPU @ 2.60GHz
# CPU MHz: 2600.000
# L1d cache: 32K
# L1i cache: 32K
# L2 cache: 4096K
# L3 cache: 36608K

新硬件信息（dmidecode 仍然需要 root）：
1

sudo dmidecode -t processor | head -30
NUMA 拓扑（多 socket 机器 2024 已是标配）：
1 2

lscpu | grep -i numa numactl --hardware

四、SSH 登录：OpenSSH 9.x 的关键变化

OpenSSH 8.3+（2020）默认禁用 SHA1 的 RSA 签名（ssh-rsa），改用 rsa-sha2-256/512。
OpenSSH 9.0+（2022）默认禁用 ssh-dss (DSA)，所有 DSA 密钥都连不上。
OpenSSH 9.6+（2024-03）开始对默认配置加固：例如 PubkeyAcceptedAlgorithms 默认禁用 SHA1 主机密钥。
2024 推荐生成 ed25519 密钥（比 RSA 短、比 ECDSA 抗量子侧信道）：
1

ssh-keygen -t ed25519 -C "lwd@<your-host>"
老 RSA 密钥 2024 仍能用，但服务端 sshd 7.4+ 默认就接受 rsa-sha2-256/512 了，不用特殊配置。