简明数学手册：符号、概念与公式速查

Fri, 15 Dec 2017 00:00:00 +0800

为什么放编程分类

这篇不是大学数学课本的目录——而是程序员的数学工具书。做技术博客分类时，我没把它放进「数学/科学」大类，而是放在「编程」下面，理由有三：

公式不是用来考试——是写代码时查表用的。看到 Σ、∂、lim 就知道在写什么，看到 T(n) = O(n²) 就能在 code review 里挑出性能 bug
数学是计算机的母语——所有算法、数据结构、机器学习、图形学、密码学底层都是这一套符号 + 公式。不会这套符号就读不懂 RFC、论文、源码注释
学习路径配套——本站点「算法 / 数据结构」「机器学习」「密码学」「游戏开发」等分类的前置知识就是这一页。先建索引，再深入分支

所以这篇的定位是：

放办公桌的"数学速查表"——遇到不熟的符号翻 30 秒，回到 IDE 继续写代码。

下面这张表汇总了 5 个最常见的工程场景对应的数学分支，方便按需跳转：

场景	用到的数学	跳转
哈希表 / 布隆过滤器	概率、模运算	哈希
密码学 / RSA	数论、模逆、欧拉函数	数论基础
数据校验 / CRC	异或、有限域	CRC / 校验
图像 / 音视频处理	三角函数、傅里叶	三角恒等式
机器学习 / 深度学习	线性代数、概率、梯度	线性代数 / 概率统计

常用数学符号

符号	含义
$\in$	属于
$\notin$	不属于
$\subseteq$	子集
$\cup$	并集
$\cap$	交集
$\emptyset$	空集
$\forall$	全称量词（任意）
$\exists$	存在量词（存在）
$\nexists$	不存在
$\Rightarrow$	推出
$\Leftrightarrow$	等价
$\sum$	求和
$\prod$	求积
$\int$	积分
$\partial$	偏导数
$\nabla$	梯度 / 散度
$\infty$	无穷
$\approx$	约等于
$\equiv$	恒等于
$\propto$	成正比

集合与逻辑

集合运算律

交换律：$A \cup B = B \cup A$，$A \cap B = B \cap A$
结合律：$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
分配律：$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
德摩根：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

命题逻辑

命题	符号	含义
合取	$P \land Q$	P 且 Q
析取	$P \lor Q$	P 或 Q
否定	$\neg P$	非 P
蕴含	$P \Rightarrow Q$	P 蕴含 Q
等价	$P \Leftrightarrow Q$	P 等价 Q

初等代数

乘法公式

$$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$$

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

$$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$$

$$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$$

一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$

判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$
根：$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
韦达：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

指数

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$(a^m)^n = a^{mn}$$

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$

对数

$$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$$

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

$$\log_a x^n = n \log_a x$$

$$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$

$$\ln e = 1, \quad \log_{10} 10 = 1$$

三角恒等式

基本关系：

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

和差角：

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$$

二倍角：

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$$

半角：

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$$

$$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$$

和差化积：

$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$$

$$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$$

解三角形

正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
三角形面积：$S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{abc}{4R}$

解析几何

直线

点斜式：$y - y_0 = k(x - x_0)$
斜截式：$y = kx + b$
一般式：$Ax + By + C = 0$
两点距离：$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
点到直线：$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

圆

标准：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
一般：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
圆心：$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$，$r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$

椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

$a > b > 0$
离心率 $e = c/a = \sqrt{1 - b^2/a^2}$
焦点 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$

双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

离心率 $e = c/a = \sqrt{1 + b^2/a^2}$
渐近线 $y = \pm \frac{b}{a} x$

抛物线 $y^2 = 2px$

焦点 $(\frac{p}{2}, 0)$，准线 $x = -\frac{p}{2}$

微积分

极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$

常用导数

$f(x)$	$f’(x)$
$c$	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$1/x$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$

常用积分

$f(x)$	$\int f(x) , dx$
$0$	$C$
$x^a$	$\frac{x^{a+1}}{a+1} + C$
$1/x$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\sec^2 x$	$\tan x + C$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$

微分中值定理

罗尔：$f(a) = f(b)$，$\exists \xi \in (a, b)$，$f’(\xi) = 0$
拉格朗日：$\exists \xi$，$f’(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
柯西：$\exists \xi$，$\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

泰勒公式

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n$$

常用展开：

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$

线性代数

矩阵

行列式（2x2）：$\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
矩阵乘法：$(AB){ij} = \sum_k A{ik} B_{kj}$
矩阵转置：$(A^T){ij} = A{ji}$
矩阵求逆：$A^{-1} = \frac{1}{\det A} A^$（$A^$ 是伴随矩阵）

特征值与特征向量

$$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$$$$\det(A - \lambda I) = 0$$

重要矩阵

单位矩阵 $I$：对角线 1
零矩阵 $O$：全 0
对角矩阵 $\text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$
对称矩阵 $A^T = A$
正交矩阵 $A^T A = I$

概率统计

概率公式

条件概率：$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
全概率：$P(A) = \sum_i P(B_i) P(A|B_i)$
贝叶斯：$P(B_j|A) = \frac{P(B_j) P(A|B_j)}{\sum_i P(B_i) P(A|B_i)}$

常见分布

分布	期望	方差
0-1 (B(1, p))	$p$	$p(1-p)$
二项 B(n, p)	$np$	$np(1-p)$
泊松 P(λ)	$λ$	$λ$
指数 Exp(λ)	$1/λ$	$1/λ^2$
正态 N(μ, σ²)	$μ$	$σ^2$
均匀 U(a, b)	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$

期望 / 方差性质

$E(c) = c$，$E(aX + b) = aE(X) + b$
$D(c) = 0$，$D(aX + b) = a^2 D(X)$
独立：$E(XY) = E(X)E(Y)$，$D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

离散数学

集合

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$

排列组合

排列：$P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$
组合：$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
性质：$C(n, k) = C(n, n-k)$，$C(n+1, k) = C(n, k) + C(n, k-1)$

鸽巢原理

把 $n+1$ 个物品放入 $n$ 个盒子，至少有一个盒子包含至少 2 个物品。

程序员常用

浮点数（IEEE 754）

单精度：32 位（1 符号 + 8 指数 + 23 尾数）
双精度：64 位（1 符号 + 11 指数 + 52 尾数）
精度：$2^{-23} \approx 1.19 \times 10^{-7}$（单精度）
舍入模式：最近偶数舍入（默认）

哈希

期望冲突：$\frac{k(k-1)}{2n}$（$k$ 个 key，$n$ 个 slot）
生日悖论：50% 冲突需要 $\approx 1.18\sqrt{n}$ 个 key

复杂度

主定理：$T(n) = aT(n/b) + f(n)$
- 若 $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$，$T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$
- 若 $f(n) = \Theta(n^{\log_b a})$，$T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)$
- 若 $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$，$T(n) = \Theta(f(n))$

在 5 个工程场景的应用

这一节给上面零散的公式穿上工程外衣——每个场景都对应到具体的代码 / 库 / 工具，让公式不再停留在纸面。

场景 1：哈希表与布隆过滤器

哈希函数的核心是把任意 key 映射到 [0, n) 的 slot：

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# Python dict 用的是开放寻址 + SipHash（防 hash flooding 攻击）
# 期望冲突数：E[collisions] = k(k-1) / (2n) # k 个 key, n 个 slot
# 50% 冲突概率：k ≈ 1.177√n # 生日悖论

import hashlib

def my_hash(key: str, n: int) -> int:
 h = hashlib.sha256(key.encode()).digest()
 return int.from_bytes(h[:4], 'big') % n

布隆过滤器用 k 个哈希函数 + m 位数组，假阳率：

$$P_{fp} = \left(1 - e^{-kn/m}\right)^k$$

场景 2：密码学 / RSA

RSA 依赖三个数论核心：

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# 1. 模逆：a*x ≡ 1 (mod p) → 用扩展欧几里得算法
def modinv(a, p):
 return pow(a, p - 2, p) # 费马小定理，p 是质数

# 2. 欧拉函数：φ(n) = n * Π(1 - 1/p_i)
# 3. RSA：c = m^e mod n，m = c^d mod n (其中 d = modinv(e, φ(n)))

# 实际用 PyCryptodome
from Crypto.PublicKey import RSA
key = RSA.generate(2048)
cipher = key.encrypt(b"hello", None)
plain = key.decrypt(cipher)

关键定理：欧拉定理 $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod n$、费马小定理 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$（p 是质数）。

场景 3：CRC / 校验和

CRC（Cyclic Redundancy Check）= 多项式除法的余数。以太网、ZIP、PNG 全用它。

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# CRC-32 (以太网)
import zlib

data = b"hello world"
crc = zlib.crc32(data) & 0xffffffff # 0x0d4a1185

# 手动算 CRC-8 (多项式 x^8 + x^2 + x + 1 = 0x07)
def crc8(data: bytes, poly=0x07, init=0x00) -> int:
 crc = init
 for byte in data:
 crc ^= byte
 for _ in range(8):
 crc = (crc >> 1) ^ (poly & -(crc & 1))
 return crc & 0xff

关键数学：有限域 GF(2⁸) 上的多项式模 2 除法。

场景 4：图像 / 音视频处理

旋转、缩放、JPEG 压缩、音频 EQ——全是三角函数 + 傅里叶变换。

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# 2D 旋转（围绕原点）
import math

def rotate(x, y, theta_deg):
 t = math.radians(theta_deg)
 return (x * math.cos(t) - y * math.sin(t),
 x * math.sin(t) + y * math.cos(t))

# 离散傅里叶变换（手写太慢，用 numpy）
import numpy as np

def spectrum(signal):
 return np.abs(np.fft.fft(signal)) # 时域 → 频域

关键公式：

欧拉公式：$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
离散傅里叶：$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-2\pi i kn/N}$

场景 5：机器学习 / 深度学习

ML/DL 整个底层都依赖线性代数 + 概率 + 微积分。

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# 1. 矩阵乘法：神经网络的前向传播
import numpy as np

X = np.random.randn(64, 784) # 64 个样本，784 维
W1 = np.random.randn(784, 128)
h = np.maximum(0, X @ W1) # ReLU 激活

# 2. 梯度下降：∂L/∂W = (∂L/∂h) · (∂h/∂W)
# PyTorch 替你算
import torch
import torch.nn as nn

model = nn.Linear(784, 10)
loss_fn = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)

for x, y in dataloader:
 pred = model(x)
 loss = loss_fn(pred, y)
 loss.backward() # 反向传播（链式法则）
 optimizer.step() # 梯度下降
 optimizer.zero_grad()

关键概念：

链式法则：$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}$（autograd 的数学基础）
Softmax：$\sigma(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$（多分类概率化）
交叉熵：$H(p, q) = -\sum_i p_i \log q_i$（分类损失）

场景 6（赠送）：素数判定

密码学、哈希、布隆过滤器都依赖大素数：

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# Miller-Rabin 素性测试
import random

def is_prime(n, k=20):
 if n < 2: return False
 for p in [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]:
 if n % p == 0: return n == p
 d, r = n - 1, 0
 while d % 2 == 0:
 d //= 2
 r += 1
 for _ in range(k):
 a = random.randrange(2, n - 1)
 x = pow(a, d, n)
 if x == 1 or x == n - 1: continue
 for _ in range(r - 1):
 x = pow(x, 2, n)
 if x == n - 1: break
 else:
 return False
 return True

上面 6 个场景的代码没有一个是"为了学数学而学数学"——全都是生产代码里会碰到的真实问题。数学不是装饰品，是工具。

下一步

微积分体系，看 2017-09-15《高等数学知识体系》
算法 / 数据结构，看 2012-08-17《常见排序算法完全指南》

参考资料

《数学手册》高等教育出版社
程序员数学入门：https://math.erucireu.dev/
Wolfram MathWorld：https://mathworld.wolfram.com/

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